Média Harmônica.
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Enviada por Elson da Silva
Ao me deparar de novo com as medidas de tendência central, pasmei com a média harmônica, cujo conceito é o inverso (recíproco) da média dos inversos (recíprocos) dos números.
Entendi perfeitamente a fórmula subjacente ao conceito, mas após a leitura do seguinte exemplo, fiquei a me questionar (filosofar?) sobre sua aplicação.
Exemplo. Um ônibus viaja de A para B a 30km/h, e volta no mesmo caminho B para A a uma velocidade de 60km/h. Qual é a velocidade média de todo o percurso?
De acordo com a fórmula de definição da média harmônica, a resposta é:
Tudo bem quanto à aplicação da fórmula, mas minha pergunta é: por que a resposta não seria a média aritmética simples?
Afinal, qual é a "filosofia" da média harmônica?
Obrigado.
Elson.
Comentário de Álvaro Frota
Prezado Elson:
No exemplo por você citado, a filosofia da média harmônica é levar em conta que existe na determinação da velocidade média de um ônibus a relação espaço / tempo. Apenas para fixarmos as idéias, suponha que a distância entre A e B seja de 60km. O tempo gasto na ida do ônibus é portanto de 60km / (30km/h) = 2 horas enquanto que na volta o ônibus irá gastar apenas 60km / (60km/h) = 1 hora Logo, levará 2 h + 1 h = 3 horas para percorrer 2 x 60km = 120km e em consequência sua velocidade média será 120km / 3h = 40km/h.
As contas necessárias ao cálculo dessa velocidade média são as mesmas que para o cálculo da média harmônica, não importando qual seja o valor do espaço percorrido, uma vez que os 60km desaparecem da fórmula, como você pode notar abaixo:
Para a distância de 60 km entre as cidades A e B, se a velocidade média fosse de 45 km/h (calculada através da média aritmética simples) teríamos um tempo de ida igual ao de volta de 60km / (45km/h) = 1 hora e 20 minutos representando assim um tempo total de 2 horas e 40 minutos e não de 3 horas como calculado acima. Vê-se, dessa forma, que não é possível utilizar a média aritmética simples nesse exemplo.
Generalizando essa discussão, toda vez em que se necessitar da média de vários números, sendo eles construídos através de uma relação do tipo
onde a é um valor fixo e b varia, a média harmônica é a mais adequada.
No exemplo,
a = distância entre as cidades
é o fator constante, enquanto que
b = tempo de viagem
é o fator variável. De fato, qualquer que seja a distância entre as cidades, sabemos que esse é um valor constante na ida e na volta do ônibus. Na ida do ônibus, o valor do tempo utilizado na viagem resultou na velocidade de 30km/h enquanto que na volta, resultou na velocidade de 60 km/h. A distância é a mesma na ida e na volta, o que variou foi o tempo, o qual se encontra no denominador da expressão de cálculo da velocidade. Logo, o inverso da média dos inversos é a forma correta de se calcular a média das velocidades.
Inverter os números, tirar a média e então inverter novamente é algo similar ao cálculo do desvio padrão, quando elevamos números ao quadrado, tiramos a média e então tiramos a raiz quadrada. No primeiro caso, a função inversa da recíproca é novamente a recíproca, uma vez que
No segundo caso, a função inversa de elevar ao quadrado é tirar a raiz quadrada, uma vez que (para qualquer x positivo)
Resumindo, a filosofia da média harmônica é inverter os números, tirar a média dos inversos e inverter novamente o que se aplica quando tais números são oriundos de uma relação onde o numerador é uma constante e o denominador varia.
Aquele Abraço!
sexta-feira, 27 de março de 2009
Média Harmônica.
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